Лестница в бесконечность / Этюды // Математические этюды

Лестница в бесконечность / Этюды // Математические этюды

Математические этюды

К списку

В каком месте нужно взять кирпи­чик, чтобы он не пере­веши­вал ни в какую сто­рону? Конечно, посе­ре­дине. Центр тяже­сти одного кирпича нахо­дится на сред­ней линии.
Зна­чит, этот кирпич можно положить на дру­гой, сме­стив отно­си­тельно ниж­него на поло­вину длины, и он не упа­дёт.

А в каком месте нужно под­нимать постро­ен­ную систему? Нетрудно посчи­тать, что центр тяже­сти нашей кон­струкции из двух кирпи­чей
нахо­дится на прямой, смещён­ной на $1/4$ длины кирпича. Действи­тельно, центр тяже­сти верх­него кирпича про­еци­ру­ется на гра­ницу
ниж­него, такая же масса рас­по­ложена посе­ре­дине ниж­него кирпича. Зна­чит, центр тяже­сти системы нахо­дится ровно посе­ре­дине поло­вины
кирпича, т.е. на рас­сто­я­нии $1/4$ длины от края.

Трак­тор при­во­зит ещё один кирпич. Как мы уже посчи­тали, верх­ние два могут быть сдви­нуты
отно­си­тельно него на одну чет­верть длины.

Бабочка — суще­ство лёг­кое, погруз­чику при­ятно поиг­рать с ней. Но вот она садится на кирпичи. Если она села в точку,
кото­рая про­еци­ру­ется на ниж­ний кирпич, то постро­ен­ная лест­ница не раз­ва­лится. Но вот она
пере­ле­тела и села чуть пра­вее, и лест­ница начала раз­ва­ли­ваться. Погруз­чику при­хо­дится торопиться,
чтобы под­держать постро­ен­ную кон­струкцию и не дать упасть. Это ещё раз пока­зы­вает, что сдвиги на $1/2$ и $1/4$
длины кирпи­чей являются мак­сималь­ными, когда кон­струкция ещё устой­чива без цемента, а только под действием силы тяже­сти кирпи­чи­ков.

А где нахо­дится центр тяже­сти системы из трёх кирпи­чей? Центр тяже­сти системы верх­них двух кирпи­чей про­еци­ру­ется на самую
гра­ницу ниж­него. Его же центр тяже­сти нахо­дится посе­ре­дине. Но теперь массы, при­ложен­ные к этим двум точ­кам, неоди­на­ко­вые — справа масса
двух кирпи­чей, а слева только одного. Зна­чит, линия, содержащая центр тяже­сти системы трёх кирпи­чей с рас­смат­ри­ва­емыми сдвигами, делит
рас­сто­я­ние между поло­ви­ной кирпича и краем в отноше­нии $2:1$, счи­тая от цен­тра. Т.е. про­хо­дит на рас­сто­я­нии $1/6$ длины кирпича от края.

Таким мето­дом можно посчи­тать, что, не желая поль­зо­ваться цемен­том, мы можем стро­ить лест­ницу, сдвигая систему из верх­них n кирпи­чей
отно­си­тельно края ниж­него на $1/(2n)$ длины кирпича. Так мы и будем стро­ить, полу­чая на каж­дом шаге мак­сималь­ный возмож­ный сдвиг по гори­зон­тали.

Рас­смот­рим пер­вые сдвиги уже постро­ен­ной лест­ницы. Это $1/2$, $1/4$, $1/6$, $1/8$. Не трогая пер­вые два члена, сгруппи­руем $1/6$ и $1/8$,
как матема­тики гово­рят, в «блок». Задви­нем верх­ний кирпи­чик так, чтобы все сдвиги в блоке были оди­на­ко­вые и рав­ня­лись наименьшему, т.е. $1/8$.
Тогда суммар­ный сдвиг полу­чится $2\cdot1/8=1/4$. Таким обра­зом, сдвиг по гори­зон­тали, дава­емый этим бло­ком, больше
(мы же задвигали один кирпи­чик) $1/4$ длины кирпича.

Как раз­би­вать на блоки нашу лест­ницу — в нашем рас­по­ряже­нии. И сле­дующий блок, кото­рый мы рас­смот­рим, будет состо­ять
из четырёх кирпи­чи­ков. { n+2 }=1/4$.

Домножим каж­дый член ряда на 2, а затем сокра­тим дроби. Мы полу­чим ряд $1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+…+1/n+…$
Этот ряд назы­ва­ется гар­мо­ни­че­ским. Он играет большую роль в матема­тике, и в каком-то смысле явля­ется погра­нич­ным. Если вы будете
стро­ить лест­ницу (уже с исполь­зо­ва­нием цемента) со сдвигами большими, чем $1/n$ (т.е. в знаме­на­теле будет сто­ять число меньше $n$),
то такая лест­ница уйдёт по гори­зон­тали в бес­ко­неч­ность.

В матема­тике подоб­ное свойство назы­вают рас­хо­димо­стью ряда — какое бы ни было зара­нее задано большое число, все­гда можно взять столько
чле­нов ряда, что их сумма будет больше задан­ного числа. Один из кри­те­риев рас­хо­димо­сти — срав­не­ние с гар­мо­ни­че­ским рядом.

Уда­ля­ясь, машинки бесе­дуют:

— Уди­ви­тельно, неужели лест­ница окажется и над этим местом?

— Мы же пока­зали, что можно взять сколь угодно много бло­ков, каж­дый по длине больше $1/4$ длины кирпича…

Лите­ра­тура

Уфна­ров­ский В.  А. Матема­ти­че­ский аква­риум. Изда­ние 3-е, исправ­лен­ное и допол­нен­ное. — М. : МЦНМО, 2014.

Paterson M., Peres Y., Thorup M., Winkler P., Zwick U. Maximum Overhang // ⁠⁠arXiv:0707.0093.

Другие этюды раздела «Геометрия формул»

Обновлено  Наибольший общий делитель  Дискриминант  Геометрическая прогрессия: легенда о шахматах  Убывание геометрической прогрессии

Математические этюды

«Тайная лестница Императора» — Виртуальный Pусский музей

22 февраля в Центральной районной библиотеке им. А. П. Чехова прошел показ фильма «Тайная лестница Императора».

С именем императора Павла I, одной из самых трагичных фигур на российском престоле, связано множество мистических преданий. Жизнь Павла была удивительным образом полна предзнаменований, предсказаний, пророчеств, чаще мрачных, сулящих беды и смерть.

Единственный, но нелюбимый сын императрицы Екатерины II, Павел Петрович рано почувствовал собственную отверженность. Мать постоянно старалась удалить его от двора и даже намеревалась передать царский венец в обход сына-цесаревича, законного престолонаследника, старшему внуку, Александру Павловичу. И все же, после смерти Екатерины, именно Павлу суждено было взойти на престол. Однако, царствование его было недолгим, завершилось страшным преступлением и оставило по себе недобрую память.

Павел с юности увлекался мистическими тайнами, которые окружали его как темные призраки. Он, словно бы, притягивал к себе и принимал близко к сердцу всякие беды. Отличаясь нервным, пугливым характером, Павел не мог равнодушно воспринимать мрачные пророчества, касавшиеся его собственной судьбы. Ему всегда казалось, что это вовсе не выдумки, пророчества не только могут свершиться, но это вот-вот должно произойти. Конечно, каждый человек верит, что сможет обмануть судьбу, избежать предсказанного, и Павел в меру своего разумения предпринимал все, что мог, чтобы изменить предначертанье.

— Хотел бы я умереть там, где родился, — бросил однажды Павел I неосторожную фразу.

Вероятно, Павел Петрович имел в виду, что мечтает всю жизнь прожить на родине, никогда не узнав, что такое изгнанье. Может быть, он говорил о Санкт-Петербурге, городе, который с детства любил больше чем Москву. Но судьба исполнила пожелание императора буквально…

Екатерина родила Павла в Летнем дворце императрицы Елизаветы Петровны, построенном на Мойке, напротив Летнего сада. Вступив на престол, Павел распорядился разобрать обветшавший Летний дворец и возвести на его месте новую императорскую резиденцию, о которой так давно мечтал. Именно здесь ему суждено было встретить свою смерть.

Руководство строительством Павел Петрович поручил Василию Баженову. Талантливый зодчий попал в свое время под опалу Екатерины, зато нашел покровителя в лице великого князя Павла. Баженов разрабатывал все первоначальные проекты нового дворца. В феврале 1797 года императорская чета собственноручно заложила в основание постройки первые кирпичи и закладную доску. Но вернувшись из Москвы после коронационных торжеств (и рокового предсказания останкинской старухи), Павел решительно поменял подход к принципам строительства. Новый дворец стал именоваться зáмком, и главным его достоинством теперь считалась неприступность. Строить надо было так, чтобы потенциальные злоумышленники ни под каким видом не смогли бы пробраться в покои императора. (Павлу и в голову не приходило, что злоумышленники найдутся среди приближенных, вхожих в его комнаты). Для воплощения новых замыслов императора был приглашен другой архитектор – Винченцо Бренне, поскольку Баженов не пожелал на ходу переделывать свой проект.

Здание со всех сторон было окружено водой – Мойка, Фонтанка и два искусственных канала делали его стены неприступными; только по подъемным мостам можно было въехать в ворота замка. По ночам мосты поднимали, и замок оказывался на неприступном острове. Площадь перед фасадом здания была укреплена рвами и гранитным парапетом с полубастионами. Здесь можно было принять настоящий бой.

Из покоев Павла Петровича, находившихся на втором этаже, в нижние комнаты вела потайная лестница, хорошо замаскированная от постороннего взгляда. Павел полагал, что в случае опасности сможет покинуть замок и скрыться. Увы, то, что проектировалось умозрительно, не помогло при действительной опасности – попасть на лестницу можно было лишь из небольшого тамбура между спальней Павла и библиотекой, а заговорщики, ворвавшиеся в спальню императора как раз со стороны библиотеки, отрезали ему путь к отступлению…

Еще одна тайная лестница вела не вниз, а вверх – над покоями императора были комнаты его фаворитки, Катеньки Лопухиной-Гагариной, которую император собирался навещать всякий раз, как только заблагорассудится.

Спальня супруги Павла Марии Федоровны тоже соседствовала с его спальней, их комнаты разделяла лишь дверь. Судя по всему, жену, несмотря на некоторое охлаждение, Павел Петрович ущемлять в чем-либо не собирался: ее покои, выходившие окнами в Летний Сад, были великолепно отделаны, она в любой момент могла войти к мужу в смежную спальню, но… Вскоре Павел Петрович предпочел запереть эту дверь на ключ.

1 февраля 1801 года император Павел с семейством перебрался в едва достроенный и еще не полностью отделанный Михайловский замок. До роковой ночи, принесшей ему гибель, оставалось 40 дней… Нервы императора были натянуты до предела. Павла тревожили ужасные видения, порой ему казалось, что по стенам дворца течет кровь… Это были лишь разводы сырости на непросохшей штукатурке, но император на все смотрел через призму мистических тайн. Он понимал, что многие подданные предпочли бы увидеть на троне его сына Александра, и не мог удержаться, чтобы не напомнить Сашке о горькой судьбе другого цесаревича – Алексея Петровича, посмевшего встать против собственного отца, царя Петра I. Александр намек, похоже, понял…

В ночь с 11 на 12 марта в покои императора ворвалась группа заговорщиков, возглавляемых губернатором Санкт-Петербурга графом Паленом. Павел был обречен… Заговорщики, преимущественно гвардейские офицеры, дававшие императору присягу на верность, убили его с невероятной жестокостью. Наутро народу объявили, что государь скончался от внезапного апоплексического удара. По Санкт-Петербургу поползла черная шутка, что имел место апоплексический удар табакеркой в висок.

Многие петербуржцы уверены, что тень убитого императора и поныне прогуливается по залам Михайловского замка. Где-то в пустых помещениях замка скрипит паркет, словно разносится звук шагов, то звякают шпоры, то слышатся звуки клавесина, то мелькает огонек свечи… Сами собой, при полном отсутствии ветра, хлопают двери и распахиваются форточки. 

Другие исторические здания комплекса «Суук-су»

Музыкальная эстрада курорта «Суук-су» (на набережной)

Фото 1953 г.

Фото 2011

Построен в 1903 году. Автор проекта: Николай Петрович Краснов, ялтинский архитектор. Сцена построена из тесаного известняка. Размер 6,35 мм х 6,60 м, высота 1,7 м. Лестница из 10 ступеней шириной 1,2 метра.

Мост через реку «Суук-су»

Построен в 1898 году. Автор проекта: Владимир Ильич Березин. Длина моста 18,5 метров, ширина 4 метра.

Десять секций металлических кованых заборов изготовлены на Урале и представляют собой интересный образец русского чугунного литья. Орнамент характерен для русского позднего классицизма.

Четыре каменных постамента построены из тесаного известняка, высота постамента 1,05 метра. Мост имеет большую архитектурную ценность, его необходимо сохранить.

Скульптура богини Ники (набережная)

Основан в 1903 году. Автор проекта: Николай Петрович Краснов, ялтинский архитектор.

Ника в греческой мифологии богиня победы в бою и в спортивных, музыкальных и других состязаниях. Изображала молодую женщину с крыльями, в руках лавровый венок.

У римлян соответствует богине Виктории. Скульптура богини Ники была вывезена немецко-румынскими захватчиками из курорта «Суук-су» до 1944 года. В настоящее время сохранилась на постаменте, на котором стояла Ника. Постамент сделан из тесаного известняка. Высота постамента 6 метров, ширина 2 х 2,5 метра.

Насосная станция (пляж)

Год постройки 1903. Автор проекта: Березин Владимир Ильич. Станция построена в средневековых башнях из тесаного известняка. Высота конструкции 6 метров, ширина 4,8 метра. Насосная станция подавала морскую воду в водолечебницу для приема морских ванн для отдыхающих санатория «Суук-су». В настоящее время здание не функционирует.

Лестничный ансамбль от Курхауса санатория «Суук-су» к морю

Фото 1910 г. Открыт 1 августа 1903 г.

Автор проекта: Николай Петрович Краснов, ялтинский архитектор.

Лестничный ансамбль в начале ХХ века был художественным произведением садово-паркового искусства.

Лестничная группа имеет четыре террасы.

Центральная лестница из 11 ступеней шириной 2,4 метра.

Два лестничных марша с 10 ступенями шириной 2,4 метра.

1910 фото Справа был искусственный сталактитовый грот. Внутри грота находился большой аквариум, освещавший его спрятанными среди сталактитов лампочками.

Над гротом была превращена музыкальная сцена. Живая музыка звучала с утра до позднего вечера.

В камерном оркестре играли итальянцы, в удовольствие они пели неаполитанские песни.

В сентябре 1927 года из-за сильного землетрясения (8-9 баллов) грот и музыкальная сцена были частично разрушены.

Фото 1910

В 1941-1944 годах немецко-румынские оккупанты разрушили сталактитовый грот и музыкальную сцену.

В настоящее время здесь растут деревья.

Верхний ярус лестничного ансамбля завершают 2 лестничные клетки на 4 ступени шириной 1,4 метра.

Верхняя часть лестничного ансамбля (фронтон) имеет высоту 2,7 метра, ширину – 10 метров. Слева были цветочные киоски. В настоящее время часть необходимого парково-садового дизайна. Справа и слева от центральной лестницы маршевых переходов находились два каменных пилона: высота 3,7 метра, ширина 1,05 метра, длина 4,25 метра.

Фото 1948 г. На пилонах лежали бронзовые сфинксы.

Сфинкс В Древнем Египте статуя фантастического существа (дух-хранитель царской власти) с телом льва и головой человека (обычно изображение фараона или священного животного).

В годы оккупации «Артека» (1941-1944) немецко-фашистскими захватчиками практиковалась стрельба по скульптурам.

В 1948 году изувеченные сфинксы были сняты с пьедесталов и отправлены на слом.

Читать «Шинель» СТРАНИЦА 5 Николая Гоголя | 25 629Бесплатные классические рассказы и стихи

Раз уж мы наткнулись на его жену, то надо будет сказать пару слов о ней; но, к сожалению, о ней мало что известно, кроме того, что у Петровича есть жена, которая носит чепец и платье; но она не может претендовать на красоту, кажется – по крайней мере, никто, кроме солдат гвардии, как те тянули свои усы, так и издавали какой-то особенный звук, даже заглядывали ей под шапку, когда встречали ее.

Подъем по лестнице, ведущей к Петровичу, которая, впрочем, вся была пропитана водой (помоями) и пронизана действующим на глаза запахом спирта и неизбежным придатком ко всем темным лестницам в петербургских домах Поднявшись по лестнице, Акакий Акакиевич прикинул, сколько спросит Петрович, и мысленно решился не давать больше двух рублей. Дверь была открыта; для тумана
ресс, готовя рыбу, подняла на кухне такой дым, что даже жуков не было видно.

Акакий Акакиевич прошел через кухню незамеченным даже для хозяйки и, наконец, дошел до комнаты, где увидал Петровича, сидящего на большом некрашеном столе и подогнувшего под себя ноги, как турецкий паша. Ноги у него были босые, как у портных, сидящих за работой; и первое, что бросалось в глаза, был его большой палец, очень известный Акакию Акакиевичу, с деформированным ногтем, толстым и крепким, как панцирь черепахи. На шее Петровича висел моток шелка и ниток, а на коленях валялась какая-то старая одежда. Он три минуты пытался продеть в иголку, безуспешно, и потому очень сердился на темноту и даже на нитку, рыча вполголоса: «Не пролезет, варвар! ты меня уколол, подлец!

Акакий Акакиевич был недоволен тем, что явился именно в тот момент, когда Петрович сердился: он любил заказывать что-нибудь Петровичу, когда тот был несколько удручен, или, по выражению его жены, «когда он угощался коньяком, одноглазый черт!» Петрович при таких обстоятельствах вообще очень охотно спускался в цене, и сговаривался, и даже кланялся и благодарил. После этого, правда, пришла его жена и пожаловалась, что ее муж пьян и поэтому слишком занизил цену; но, если только гривенник прибавлялся, то дело было решено. Но теперь оказалось, что Петрович был в трезвом состоянии, а потому груб, молчалив и склонен требовать черт знает какую цену. Акакий Акакиевич это чувствовал и охотно бы отступил, как говорится; но он был в этом. Петрович очень пристально щурил на него один глаз; и Акакий Акакиевич невольно сказал: «Здравствуйте, Петрович!»

– Доброго утра-с, – сказал Петрович и покосился на руки Акакия Акакиевича, желая посмотреть, какую добычу он принес.

Ах! Я вам, Петрович, это… Надо знать, что Акакий Акакиевич выражался главным образом предлогами, наречиями и такими обрывками фраз, которые не имели никакого значения. Но если дело было очень трудное, то у него была привычка никогда не заканчивать фразы; так что довольно часто, начав свою фразу со слов: «Это, в самом деле, совсем» — больше не было, и он забывал себя, думая, что уже кончил.