Что такое вектор, как найти длину? Координаты? Формулы

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом. В некоторых учебниках вектор могут называть направленным отрезком.

Вектор обозначается одной строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными со стрелкой (в некоторых случаях — прямой линией) сверху.

Интересно, что порядок букв в названии вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за его конец. Поэтому и — абсолютно разные векторы.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Виды векторов

Во-первых, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными.

Коллинеарными называют те векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке
и
и
являются коллинеарными, а
и
относительно друг друга — нет.

Векторы различаются и по направлению. Если векторы уже являются коллинеарными, они могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Сонаправленные векторы обозначаются так:
Если же они противоположно направлены, мы можем записать это следующим образом:

Равными являются те векторы, которые одновременно и коллинеарны, и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так: Он считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрии вводят дополнительные понятия, рассмотрим и их:

• Закреплённый вектор — отрезок с упорядоченными концами: если С — точка начала вектора, а Е — точка конца, тогда (это то, что мы понимаем под обычным вектором в школьной геометрии).

• Свободный вектор — вектор, начало и конец которого не закреплены. Его можно перемещать как вдоль прямой, на которой он находится, так и параллельно этой прямой. По сути под свободным вектором понимают множество закреплённых векторов.

Сложение и вычитание векторов

Действия с векторами описываются и в алгебре, и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим способы, благодаря которым можно сложить и вычесть векторы, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что в пространстве заданы векторы и которые нам необходимо сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку такие векторные величины, как сила, часто приложены к одному и тому же телу. В таком случае возникает вопрос: а как же рассчитать результирующее действие всех этих сил?

В этом на помощь физикам приходит математика — царица наук! Чтобы сложить два вектора, необходимо:

1. Отложить начало одного вектора от конца другого.

2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором , который соединяет начало вектора с концом вектора

Сложение: метод параллелограмма

Сложить векторы можно и по-другому, используя метод параллелограмма:

1. Совместим между собой концы
   и

2. Отложим от конца вектор, равный

3. Отложим от конца вектор, равный

4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны).

5. Проведём диагональ параллелограмма между и на которой будет лежать вектор, равный сумме и

Задача решена, вы великолепны!

Обратите внимание

Как метод параллелограмма, так и метод треугольника подразумевает перемещение векторов в пространстве: мы или совмещаем их концы, или откладываем от конца одного вектора начало другого. Получить сумму векторов, не имеющих общей точки, с этими методами не представляется возможным.

Сложение: метод многоугольника

А что если векторов больше, чем два? На эту проблему математика уже подготовила решение: воспользуемся расширенным методом треугольника, который получил название «метод многоугольника».

Согласно этому методу мы последовательно совмещаем конец и начало векторов, а после изображаем суммирующий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего. Лучше всего рассмотреть это на чертеже:

Вычитание векторов

Продолжаем проделывать с векторами всевозможные действия, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это по своей сути то же сложение, но с обратным числом.

С векторами работает та же штука: вместо вычитания попробуем прибавить вектор, противоположно направленный исходному:

Изобразим разность векторов с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Боитесь запутаться в векторах сонаправленных и противоположно направленных?
Существует отдельное правило для их вычитания:

1. Отложим один вектор от начала другого.

2. Тогда вектор их разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а
   начало — с концом уменьшаемого.

Этот метод схож и с методом параллелограмма, но в этом случае мы берём другую диагональ.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных действий с векторами нам необходимо поместить их в такую систему координат, чтобы можно было
определить их положение относительно друг друга. Для этого используют декартову систему координат, которой можно
пользоваться как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями
X, Y, Z.

Тогда, если
находится на плоскости, его координаты можно выразить как
если в пространстве
—

Базисные векторы — это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей оси координат, в трёхмерном пространстве их обозначают

Любой вектор в трёхмерном пространстве можно разложить по трём базисным векторам.

с координатами
можно записать так:

Умножение вектора на число

Представьте, что нам необходимо растянуть вектор в два раза или же сжать, но уже в три. За все эти действия отвечает
одна простая задача: умножение вектора на число.

Для того чтобы увеличить или уменьшить вектор в некоторое количество раз, необходимо умножить все координаты вектора
на это число.

Таким образом, если задан координатами то —
Кстати, подобным образом можно перевернуть вектор, направив его в противоположную сторону:

Длина вектора

Длина вектора — одно из основных понятий в этом разделе. И неудивительно, ведь она характеризует его протяженность в
пространстве и выражается числом.

Итак, длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Её часто называют модулем, что
отражается и в обозначении. Если нам необходимо найти длину мы так и запишем:

Длину вектора можно найти разными способами, вот основные:

1. через координаты вектора;

2. через координаты точек начала и конца вектора;

3. через теорему косинусов.

Давайте вместе разберём все методы!

Длина вектора через его координаты

Если задан через координаты то его длину можно найти как

Почему мы можем быть уверены, что эта формула правильная? Рассмотрим вектор в декартовой системе координат.

Отложим вектор от точки с координатами Тогда этот вектор можно назвать , и так как мы строили его из
начала координат, координаты вектора могут быть найдены как

Рассчитаем длину через теорему Пифагора:

Задача 1

Посчитайте, чему равен модуль , если его координаты

Решение:

Модуль вектора — это его длина, а значит,

Задача 2

Длина Чему равна координата по оси , если координата по оси

Решение:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Для начала давайте вспомним, как задать координаты вектора через координаты его начала и конца.

Рассмотрим где и Тогда координаты вектора можно выразить так:

Мы уже знаем, как найти длину вектора через его координаты, поэтому подставим полученное выражение в формулу:

Задача 3

Найдите длину если и

Решение:

Задача 4

Рассчитайте координату по точки вектора , если его длина равна а

Решение:

Остановимся здесь и подставим известные числа в формулу:

или

Длина вектора через теорему косинуса

К сожалению, в задачах не всегда даны координаты точек вектора или его самого. В таком случае мы воспользуемся
теоремой косинуса.
Давайте вспомним её формулировку.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

Эту теорему можно применить и в векторной форме. Немного изменим рисунок:

Тогда, чтобы найти длину , необходимо знать (или иметь возможность вычислить) длины и , знать угол между ними, а также уметь рассчитать произведение длин этих векторов.

Задача 5

Длины и равны 4 и 6 соответственно, а угол между ними равен Вычислите длину

Решение:

Задача 6

Рассчитайте модуль вектора в треугольнике, если длина = 8, длина = 10, а угол между ними равен

Решение:

Скалярное произведение векторов

Мы практически дошли до финала нашего путешествия по царству векторов. 👑 Нам осталось изучить только скалярное
произведение векторов. Что это?

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то
есть число,
которое не зависит от выбора системы координат.

Скалярным произведением и будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на
косинус угла между ними:

Вспомним, что в той же физике величины делятся на скалярные (не имеющие направления, например, масса) и векторные
(имеющие направление, например, сила, ускорение, скорость). В математике под вектором подразумевают направленный
отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа.

Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Так, чем больше
угол между векторами, тем меньше согласованности, а значит, скалярное произведение будет уменьшаться с ростом угла:

• Скалярное произведение вектора на само себя равно квадрату его модуля:
  В данном случае значение скалярного произведения является наибольшим из
  возможных.

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как

• Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как

• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как

• Cкалярное произведение вектора на противоположно направленный ему вектор равно отрицательному произведению их
  длин . В данном случае значение скалярного произведения является наименьшим из возможных.

Конечно, вы можете возразить: «Согласованность направлений отлично показывает угол, для чего нам эти сложные
вычисления?». А всё дело в том, что в пространстве порой очень сложно измерить угол, а вот посчитать скалярное
произведение — просто, особенно если рассмотреть его через координаты.

Если выражен координатами а то скалярное произведение этих векторов описывается формулой:

В пространстве скалярное произведение через координаты векторов будет задаваться так:

Где применяется скалярное произведение? Благодаря ему выполняется большое количество математических операций, таких
как нахождение угла между векторами и любых расстояний, если они заданы через координаты. Благодаря скалярному
произведению можно описать даже характеристику криволинейных поверхностей, но это мы обсудим как-нибудь в другой
раз. 🙂

Чтобы закрепить пройденный материал, нужно больше, чем пара заданий. Поэтом приглашаем на онлайн-уроки математики в
школу Skysmart. За короткое время благодаря особенной платформе и учителям-профессионалам вы сможете улучшить
школьные отметки, подготовиться к экзаменам и олимпиадам, и самое главное — понять и полюбить математику.

ООО КСК «ВЕКТОР», г. Курск, ИНН 4632045701, контакты, реквизиты, финансовая отчётность и выписка из ЕГРЮЛ

+7 471 234-00-00
+7 471 273-50-60
+7 471 252-78-27
+ ещё 1

[email protected]

v-vector.ru

---

Контактная информация неактуальна?

Редактировать

---

Юридический адрес

305000, Курская область, г. Курск, ул. Союзная, д. 26

Показать на карте

ОГРН	1044637026620
ИНН	4632045701
КПП	463201001
ОКПО	70742758

Код ОКОГУ	4210014 Организации, учрежденные юридическими лицами или гражданами, или юридическими лицами и гражданами совместно
Код ОКОПФ	12300 Общества с ограниченной ответственностью
Код ОКФС	16 Частная собственность
Код ОКАТО	38401369000 Железнодорожный
Код ОКТМО	38701000001 г Курск

Регистрация в ФНС

Регистрационный номер 1044637026620 от 14 сентября 2004 года

Управление Федеральной налоговой службы по Курской области

Регистрация в ПФР

Регистрационный номер 056029030476 от 16 сентября 2004 года

Управление Пенсионного фонда Российской Федерации по г. Курску

Регистрация в ФСС

Регистрационный номер 462920155046001 от 15 сентября 2004 года

Государственное учреждение — Курское региональное отделение Фонда социального страхования Российской Федерации

Черных Александр Геннадьевич ИНН 463228063845 с 29.11.2011

100%

43.12	Подготовка строительной площадкиОСНОВНОЙ
43.99	Работы строительные специализированные прочие, не включенные в другие группировки
68.3	Операции с недвижимым имуществом за вознаграждение или на договорной основе
69	Деятельность в области права и бухгалтерского учета
43.2	Производство электромонтажных, санитарно-технических и прочих строительно-монтажных работ
41.2	Строительство жилых и нежилых зданий
43. 3	Работы строительные отделочные

Финансовая отчётность ООО КСК «ВЕКТОР» согласно данным ФНС и Росстата за 2012–2021 годы

Финансовые результаты за 2021 год

Выручка	Чистая прибыль	Капитал
5,4 млн ₽ 45%	95 тыс. ₽ 73%	12,6 млн ₽ 11%

Бухгалтерская отчётность за все доступные периоды

---

Показатели финансового состояния за 2021 год

• Коэффициент автономии (финансовой независимости)
  0. 17
• Коэффициент обеспеченности собственными оборотными средствами

  —

• Коэффициент покрытия инвестиций
  0.17

• Коэффициент текущей ликвидности
  —
• Коэффициент быстрой ликвидности

  —

• Коэффициент абсолютной ликвидности
  —

• Рентабельность продаж
  1. 8%
• Рентабельность активов

  0.1%

• Рентабельность собственного капитала
  0.8%

Сравнительный финансовый анализ за 2021 годНОВОЕ

Уплаченные ООО КСК «ВЕКТОР» – ИНН 4632045701 – налоги и сборы за 2021 год

Страховые и другие взносы на обязательное пенсионное страхование, зачисляемые в Пенсионный фонд Российской Федерации	287 тыс. ₽
Транспортный налог	1 тыс. ₽
Налог, взимаемый в связи с применением упрощенной системы налогообложения	162 тыс. ₽
Страховые взносы на обязательное социальное страхование на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством	32,8 тыс. ₽
Страховые взносы на обязательное медицинское страхование работающего населения, зачисляемые в бюджет Федерального фонда обязательного медицинского страхования	68,1 тыс. ₽
Итого	550,9 тыс. ₽

Имелись задолженности по пеням и штрафам за предыдущий отчётный период

Страховые взносы на обязательное социальное страхование на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством	57,7 ₽
Транспортный налог	8,9 ₽
Страховые взносы на обязательное медицинское страхование работающего населения, зачисляемые в бюджет Федерального фонда обязательного медицинского страхования	149,3 ₽
Налог, взимаемый в связи с применением упрощенной системы налогообложения	153,4 ₽
Страховые и другие взносы на обязательное пенсионное страхование, зачисляемые в Пенсионный фонд Российской Федерации	636,1 ₽
Итого	1 тыс. ₽

Согласно данным ФНС, среднесписочная численность работников за 2021 год составляет
5 человек

2021 г.	5 человек	22,2 тыс. ₽
2020 г.	7 человек	11,8 тыс. ₽
2019 г.	8 человек	15,1 тыс. ₽

Значения рассчитаны автоматически по сведениям о взносах в фонд обязательного медицинского страхования и среднесписочной численности ООО КСК «ВЕКТОР», эта информация может быть неточной

Руководитель ООО КСК «ВЕКТОР» также является руководителем или учредителем 4 других организаций

ООО «ВКХ» 305000, Курская Область, г. Курск, ул. Союзная, д. 26, комната 2 Строительство жилых и нежилых зданий Черных Александр Геннадьевич

ООО «ВЕСНА» 305022, Курская Область, г. Курск, ул. Союзная, д. 26, кв. 7 Деятельность ресторанов и услуги по доставке продуктов питания Черных Александр Геннадьевич

ООО «ВУСТЭР» 305022, Курская область, г. Курск, ул. Союзная, зд. 26, офис 16 Образование дополнительное детей и взрослых Черных Александр Геннадьевич

+ ещё 1

Учредитель ООО КСК «ВЕКТОР» также является руководителем или учредителем 4 других организаций

ООО «ВКХ» 305000, Курская Область, г. Курск, ул. Союзная, д. 26, комната 2 Строительство жилых и нежилых зданий Черных Александр Геннадьевич

ООО «ВЕСНА» 305022, Курская Область, г. Курск, ул. Союзная, д. 26, кв. 7 Деятельность ресторанов и услуги по доставке продуктов питания Черных Александр Геннадьевич

ООО «ВУСТЭР» 305022, Курская область, г. Курск, ул. Союзная, зд. 26, офис 16 Образование дополнительное детей и взрослых Черных Александр Геннадьевич

+ ещё 1

Компания ООО КСК «ВЕКТОР» не опубликовала ни одного сообщения, но является участником 1 сообщения на Федресурсе

Типы сообщений

Заключение договора финансовой аренды (лизинга)

1

Согласно данным картотеки арбитражных дел, в арбитражных судах РФ были рассмотрены 2 судебных дела с участием ООО КСК «ВЕКТОР»

0	в роли истца
2	в роли ответчика

Последнее дело

№ А41-61423/2018 от 31 июля 2018 года

Экономические споры по гражданским правоотношениям

Истец

АССОЦИАЦИЯ «ОСО»

Ответчики

ООО «КВИНТА-Т», ООО «СТРОЙДИЗАЙНПРОЕКТСЕЛИГЕР», ООО КСК «ВЕКТОР»

Полная хронология важных событий с 14 сентября 2004 года

	01. 08.2016 Регистрация в Едином реестре субъектов малого и среднего предпринимательства
	20.07.2017 Сдана финансовая отчётность за 2016 год
	19.07.2018 Сдана финансовая отчётность за 2017 год
	16.07.2019 Сдана финансовая отчётность за 2018 год
	27.03.2020 Сдана финансовая отчётность за 2019 год
	26.03.2021 Сдана финансовая отчётность за 2020 год
	24.03.2022 Сдана финансовая отчётность за 2021 год

Похожие компании

ООО «УЮТНЫЙ ДОМ» г. Кондопога, Республика Карелия	1003018512
ООО «АРМ-СТРОЙ» п. Молодежный, Иркутская область	3827018257
ООО «СТРОЙ-СЕРВИС» г. Ставрополь, Ставропольский край	2635081045
ООО «БОНСТРОЙ» г. Старый Оскол, Белгородская область	3128146016
ООО «СТРОЙСИТИ» г. Красногорск, Московская область	5024119438
ООО «СК «УТС» г. Нижневартовск, Ханты-Мансийский автономный округ — Югра	8603243488
ООО «АЛЕКССТРОЙ» г. Чебоксары, Чувашская республика	2130084140

KSK Фьючерсы (ksk)

Фьючерсы на KSK (ksk)

Перейти к основному содержанию

Javascript отключен? Как и другие современные веб-сайты, IETF Datatracker использует Javascript.
Пожалуйста, включите Javascript для полной функциональности.

• О
• Документы
• Встречи
• История
• Фото
• Расширения электронной почты
• Список архивов »

РГ	Имя		KSK Фьючерсы
	Акроним		кск
	Район		Зона операций и управления (упс)
	Состояние		BOF завершено
	Устав		(Никто)
	Зависимости документа
	Дополнительные ресурсы		Трекер проблем, Вики
Персонал	Стул		Пол Э. Хоффман
	региональный директор		Уоррен «Эйс» Кумари
Список рассылки	Адрес		[email protected]
	Подписаться		https://mm. icann.org/mailman/listinfo/ksk-rollover
	Архив		http://mm.icann.org/pipermail/ksk-rollover/
Чат	Адрес комнаты		https://zulip.ietf.org/#narrow/stream/ksk

Еще не зафрахтован.

Ks логотип k s дизайн белая буква ksk s буква векторное изображение

Ks логотип k s дизайн белая буква ksk s буква векторное изображение

org/BreadcrumbList»>

1. лицензионные векторы

2. логотип векторов

ЛицензияПодробнее

Стандарт
Вы можете использовать вектор в личных и коммерческих целях.

Расширенный
Вы можете использовать вектор на предметах для перепродажи и печати по требованию.

Тип лицензии определяет, как вы можете использовать этот образ.

	Стд.	Расшир.
Печатный / редакционный
Графический дизайн
Веб-дизайн
Социальные сети
Редактировать и изменять
Многопользовательский
Предметы перепродажи
Печать по требованию

Право собственности
Учить больше

Эксклюзивный
Этот вектор становится исключительно вашим для любых целей. Художник перестанет лицензировать его другим.

Хотите, чтобы это векторное изображение было только у вас? Эксклюзивный выкуп обеспечивает все права этого вектора.

Мы удалим этот вектор из нашей библиотеки, а художник прекратит продажу работ.

Способы покупкиСравнить

Плата за изображение
$ 14,99

Кредиты
$ 1,00

Подписка
$ 0,69

Оплатить стандартные лицензии можно тремя способами. Цены составляют долларов США долларов США.

Оплата с помощью	Цена изображения
Плата за изображение $ 14,99 Одноразовый платеж
Предоплаченные кредиты $ 1 Загружайте изображения по запросу (1 кредит = 1 доллар США). Минимальная покупка 30р.
План подписки От 69 центов Выберите месячный план. Неиспользованные загрузки автоматически переносятся на следующий месяц.

Способы покупкиСравнить

Плата за изображение
$ 39,99

Кредиты
$ 30,00

Существует два способа оплаты расширенных лицензий. Цены составляют долларов США долларов США.

Оплата с помощью	Стоимость изображения
Плата за изображение $ 39,99 Оплата разовая, регистрация не требуется.
Предоплаченные кредиты $ 30 Загружайте изображения по запросу (1 кредит = 1 доллар США).

Оплата

Плата за изображение
$ 499

Дополнительные услугиПодробнее

Настроить изображение
Доступно только с оплатой за изображение
$ 85.00

Нравится изображение, но нужны лишь некоторые модификации? Пусть наши талантливые художники сделают всю работу за вас!

Мы свяжем вас с дизайнером, который сможет внести изменения и отправить вам изображение в выбранном вами формате.